ल.स.प. और म.स.प.

English में पढ़ें

ल.स.प. और म.स.प. (LCM & HCF)

अध्याय की रूपरेखा और सीखने के उद्देश्य

इस अध्याय को पढ़ने के बाद आप सक्षम होंगे:

• म.स.प. (HCF) और ल.स.प. (LCM) को गुणनखंड विधि, भाग विधि और अभाज्य गुणनखंडन से निकालना
• भिन्नों और दशमलव संख्याओं का ल.स.प.–म.स.प. निकालना
• "शेषफल वाले" प्रश्नों (remainder problems) को सेकंडों में सुलझाना
• घंटियाँ एक साथ बजना, टाइलें लगाना, सबसे बड़ा मापक — जैसे वास्तविक जीवन के प्रश्नों को पहचानना
• ल.स.प. × म.स.प. = संख्याओं का गुणनफल — इस सूत्र के उल्टे-सीधे प्रयोग करना

हुक: वह घंटी जो सबको एक साथ बजा देती है

एक मंदिर में तीन घंटियाँ हैं — पहली हर 12 मिनट में, दूसरी हर 18 मिनट में, तीसरी हर 30 मिनट में बजती है। सुबह 6 बजे तीनों एक साथ बजीं। अगली बार तीनों एक साथ कब बजेंगी?

यह सवाल SSC CGL, IBPS PO और CSAT में बार-बार आता है — और इसका जवाब सिर्फ़ तीन अक्षरों में छिपा है: ल.स.प. (12, 18, 30 का ल.स.प. = 180 मिनट = 3 घंटे, यानी सुबह 9 बजे)।

अब उल्टा सोचिए: 96 और 144 मीटर लंबी दो रस्सियों को बराबर-बराबर टुकड़ों में काटना है, और हर टुकड़ा जितना लंबा हो सके उतना लंबा हो। यहाँ काम आता है म.स.प. (= 48 मीटर)।

एक ही अध्याय, दो अलग दिशाएँ — "फिर से मिलना" = ल.स.प., "बराबर बाँटना" = म.स.प.। यही इस पूरे अध्याय की आत्मा है।

आम समस्या: छात्र कहाँ फँसते हैं?

ज़्यादातर छात्र सूत्र रट लेते हैं, लेकिन परीक्षा में प्रश्न पढ़कर यह तय नहीं कर पाते कि ल.स.प. लगाना है या म.स.प.। परीक्षक यहीं जाल बिछाता है — वह "सबसे छोटी संख्या जो … से विभाजित हो" पूछकर ल.स.प. माँगता है, और "सबसे बड़ी संख्या जो … को विभाजित करे" पूछकर म.स.प.।

याद रखने का सुनहरा नियम:

> "बाँटने वाला बड़ा = म.स.प., बँटने वाला छोटा = ल.स.प."
> यानी जो संख्या दूसरों को *बाँटे* (divisor), वह म.स.प. है; जो संख्या दूसरों से *बँटे* (divisible), वह ल.स.प. है।

🧠 Active Recall: बिना ऊपर देखे बताइए — "वह सबसे बड़ी संख्या जो 36 और 60 को पूरा-पूरा विभाजित करे" — इसमें ल.स.प. निकालेंगे या म.स.प.? (उत्तर: म.स.प. = 12)

खंड 1: मूल अवधारणाएँ

गुणज (Multiple): किसी संख्या को 1, 2, 3… से गुणा करने पर मिलने वाली संख्याएँ। 4 के गुणज: 4, 8, 12, 16, …

गुणनखंड (Factor): जो संख्या किसी संख्या को पूरा-पूरा बाँट दे। 12 के गुणनखंड: 1, 2, 3, 4, 6, 12।

म.स.प. (HCF / GCD): दो या अधिक संख्याओं का सबसे बड़ा उभयनिष्ठ गुणनखंड। 12 और 18 के उभयनिष्ठ गुणनखंड: 1, 2, 3, 6 — सबसे बड़ा = 6।

ल.स.प. (LCM): दो या अधिक संख्याओं का सबसे छोटा उभयनिष्ठ गुणज। 4 और 6 के उभयनिष्ठ गुणज: 12, 24, 36… — सबसे छोटा = 12।

ध्यान दें: म.स.प. संख्याओं से छोटा या बराबर होता है; ल.स.प. संख्याओं से बड़ा या बराबर होता है। यह एक पंक्ति आधे गलतियों को पकड़ देती है — अगर आपका म.स.प. दी गई संख्या से बड़ा आया, तो कहीं गड़बड़ है।

🧠 Active Recall: 8 और 12 का म.स.प. और ल.स.प. मन में निकालिए। (म.स.प. = 4, ल.स.प. = 24)

खंड 2: अभाज्य गुणनखंडन विधि (Prime Factorization)

यह सबसे विश्वसनीय विधि है — Advanced स्तर के प्रश्नों में यही काम आती है।

म.स.प. के लिए: हर संख्या को अभाज्य गुणनखंडों में तोड़िए → उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंडों की न्यूनतम घात लीजिए → गुणा कीजिए।

ल.स.प. के लिए: सभी अभाज्य गुणनखंडों की अधिकतम घात लीजिए → गुणा कीजिए।

उदाहरण: 72 और 120

• 72 = 2³ × 3²
• 120 = 2³ × 3 × 5
• म.स.प. = 2³ × 3 = 24 (उभयनिष्ठ: 2 और 3; न्यूनतम घातें)
• ल.स.प. = 2³ × 3² × 5 = 360 (सभी; अधिकतम घातें)

🎵 Mnemonic: "मैं न्यूनतम, लै अधिकतम"

> "म.स.प. मीठा है — कम लेता है (न्यूनतम घात); ल.स.प. लालची है — सब लेता है (अधिकतम घात, सारे गुणनखंड)।"

🧠 Active Recall: 2² × 3 × 5 और 2 × 3² × 7 का म.स.प. और ल.स.प. बताइए। (म.स.प. = 2 × 3 = 6; ल.स.प. = 2² × 3² × 5 × 7 = 1260)

खंड 3: भाग विधि (Division Method / Euclidean Algorithm)

बड़ी संख्याओं (जैसे 1071 और 1029) के लिए गुणनखंडन थकाऊ हो जाता है। तब यूक्लिड की भाग विधि बचाती है:

बड़ी संख्या ÷ छोटी संख्या → शेषफल से भाजक को भाग दीजिए → जब तक शेषफल 0 न आए दोहराइए → अंतिम भाजक = म.स.प.

उदाहरण: 1071 और 1029

• 1071 ÷ 1029 → शेषफल 42
• 1029 ÷ 42 → शेषफल 21 (क्योंकि 42 × 24 = 1008, शेष 21)
• 42 ÷ 21 → शेषफल 0
• म.स.प. = 21

फिर ल.स.प. = (1071 × 1029) ÷ 21 = 52,479। (सीधे गुणा करके म.स.प. से भाग देना ही बड़ी संख्याओं का ल.स.प. निकालने का व्यावहारिक तरीका है।)

🧠 Active Recall: यूक्लिड विधि में म.स.प. कौन-सा चरण देता है? (वह अंतिम भाजक जिस पर शेषफल 0 आता है)

खंड 4: स्वर्णिम संबंध — ल.स.प. × म.स.प. = संख्याओं का गुणनफल

दो संख्याओं के लिए:

> पहली संख्या × दूसरी संख्या = ल.स.प. × म.स.प.

⚠️ चेतावनी: यह सूत्र केवल दो संख्याओं के लिए सत्य है। तीन संख्याओं पर यह लागू नहीं होता — परीक्षक यही कथन-आधारित जाल बिछाता है।

उपयोग:

• दो संख्याओं का म.स.प. 12, ल.स.प. 144; एक संख्या 36 है → दूसरी = (12 × 144)/36 = 48।
• सह-अभाज्य (co-prime) संख्याओं का म.स.प. = 1, इसलिए उनका ल.स.प. = उनका गुणनफल। जैसे 8 और 9 → ल.स.प. = 72।

अनुपात वाले प्रश्न: दो संख्याओं का अनुपात 3 : 4 और म.स.प. 5 है → संख्याएँ 15 और 20 → ल.स.प. = 60। ट्रिक: संख्याएँ = अनुपात × म.स.प.; फिर ल.स.प. = अनुपातों का गुणनफल × म.स.प. = 3 × 4 × 5 = 60।

🧠 Active Recall: दो सह-अभाज्य संख्याओं का ल.स.प. क्या होता है? (उनका गुणनफल)

खंड 5: भिन्नों और दशमलव का ल.स.प.–म.स.प.

भिन्नों के लिए:

> भिन्नों का ल.स.प. = अंशों का ल.स.प. ÷ हरों का म.स.प.
> भिन्नों का म.स.प. = अंशों का म.स.प. ÷ हरों का ल.स.प.

उदाहरण: 2/3, 4/5, 8/15 का ल.स.प. = (2, 4, 8 का ल.स.प.) ÷ (3, 5, 15 का म.स.प.) = 8 ÷ 1 = 8।

🎵 Mnemonic: "ल.स.प. ऊपर-नीचे, म.स.प. उल्टा"

> "ल.स.प. में अंश का ल.स.प. ऊपर, हर का म.स.प. नीचे; म.स.प. में सब उल्टा।" (ल = ल ऊपर, म = म नीचे)

दशमलव के लिए: सबसे ज़्यादा दशमलव स्थानों वाली संख्या देखिए → सभी संख्याओं में उतने ही दशमलव स्थान बनाकर दशमलव हटाइए → पूर्णांकों का ल.स.प./म.स.प. निकालिए → उतने ही दशमलव स्थान वापस लगाइए।

उदाहरण: 0.6 और 0.8 का म.स.प. → 6 और 8 का म.स.प. = 2 → उत्तर 0.2।

🧠 Active Recall: 1/2 और 3/4 का म.स.प. क्या होगा? (अंशों का म.स.प. = 1, हरों का ल.स.प. = 4 → 1/4)

खंड 6: शेषफल वाले प्रश्न (Remainder Problems) — परीक्षा का दिल

Advanced परीक्षाओं में सबसे ज़्यादा यही पैटर्न घूमता है। चार प्रारूप:

प्रारूप 1 — "सबसे छोटी संख्या जो a, b, c से विभाजित होकर शेष r दे":
उत्तर = (a, b, c का ल.स.प.) + r
*उदाहरण:* 4, 6, 8 से भाग देने पर शेष 3 आए → ल.स.प. 24 + 3 = 27।

प्रारूप 2 — "सबसे बड़ी संख्या जिससे x, y, z को भाग देने पर शेष r₁, r₂, r₃ आए":
उत्तर = (x − r₁), (y − r₂), (z − r₃) का म.स.प.
*उदाहरण:* 29, 53, 77 को भाग देने पर शेष 5 आए → 24, 48, 72 का म.स.प. = 24।

प्रारूप 3 — "सबसे छोटी संख्या जो a, b, c से विभाजित होकर क्रमशः शेष p, q, r दे, जहाँ a−p = b−q = c−r = k":
उत्तर = ल.स.प. − k
*उदाहरण:* 5, 6, 7 से भाग देने पर शेष क्रमशः 4, 5, 6 (हर बार 1 कम) → ल.स.प. 210 − 1 = 209।

प्रारूप 4 — "n अंकों की सबसे बड़ी/छोटी संख्या जो a, b, c से विभाजित हो":

• सबसे बड़ी: n अंकों की सबसे बड़ी संख्या ÷ ल.स.प. → शेषफल घटाइए।
• सबसे छोटी: n अंकों की सबसे छोटी संख्या ÷ ल.स.प. → शेषफल हो तो (ल.स.प. − शेषफल) जोड़िए।

*उदाहरण:* 4 अंकों की सबसे बड़ी संख्या जो 12, 18, 24 से विभाजित हो → ल.स.प. = 72; 9999 ÷ 72 → शेष 63 → 9999 − 63 = 9936।

🧠 Active Recall: "शेष बराबर-बराबर कम हो" वाले प्रश्न में ल.स.प. से क्या घटाते हैं? (वह अंतर k जो भाजक और शेषफल में समान है)

खंड 7: वास्तविक जीवन के प्रश्न — पहचानने की कला

उदाहरण (टाइल): 5.25 मी × 3.75 मी के कमरे में सबसे बड़ी वर्गाकार टाइल → 525 और 375 का म.स.प. = 75 सेमी = 0.75 मी।

उदाहरण (दौड़): तीन धावक एक वृत्त को क्रमशः 60, 72, 90 सेकंड में पूरा करते हैं → प्रारंभ बिंदु पर फिर मिलेंगे: ल.स.प. = 360 सेकंड = 6 मिनट।

🧠 Active Recall: "कम से कम कितने छात्र हों कि 6, 8, 10 की पंक्तियों में बराबर बँट जाएँ" — ल.स.प. या म.स.प.? (ल.स.प. = 120)

खंड 8: Advanced किनारे (CGL Tier-II / PO Mains स्तर)

1. म.स.प. के गुणज: दो संख्याओं का हर उभयनिष्ठ गुणनखंड, उनके म.स.प. का गुणनखंड होता है।
2. ल.स.प. का गुणज: दो संख्याओं का हर उभयनिष्ठ गुणज, उनके ल.स.प. का गुणज होता है।
3. अनुपात + ल.स.प. मिश्रित प्रश्न: संख्याएँ 2 : 3 के अनुपात में, ल.स.प. = 54 → मान लीजिए संख्याएँ 2k, 3k (सह-अभाज्य अनुपात) → ल.स.प. = 6k = 54 → k = 9 → संख्याएँ 18, 27; म.स.प. = 9।
4. कथन-जाल: "तीन संख्याओं का गुणनफल = उनके ल.स.प. × म.स.प." — असत्य कथन। यह केवल दो संख्याओं के लिए सही है।

सारांश तालिका

🔁 दोहराने का निर्देश

इस अध्याय को 2 दिन बाद दोबारा पढ़ें — विशेष रूप से शेषफल वाले चार प्रारूप और भिन्नों के सूत्र। फिर 7 दिन बाद केवल सारांश तालिका और 🧠 प्रॉम्प्ट्स को बिना उत्तर देखे हल करने की कोशिश करें। जो प्रॉम्प्ट अटके, उसी खंड को लक्षित करके दोहराएँ — पूरा अध्याय नहीं।