अनुपात और समानुपात

English में पढ़ें

अनुपात और समानुपात (Ratio & Proportion)

🎯 इस अध्याय में आप क्या सीखेंगे

• अनुपात (Ratio) की सच्ची समझ — सिर्फ़ भागफल नहीं, तुलना की भाषा
• समानुपात (Proportion) और उसके प्रकार — सीधा, उल्टा और मिश्रित
• Compound Ratio, Duplicate/Triplicate Ratio जैसे Advanced हथियार
• बँटवारे (Division in a Ratio) और मिश्रण (Mixture) वाले सवालों की रणनीति
• परीक्षा में 30 सेकंड में उत्तर निकालने की सोच

सीखने के उद्देश्य: इस अध्याय के बाद आप किसी भी Ratio-based सवाल को देखकर तुरंत पहचान लेंगे कि यह "तुलना" का सवाल है, "बँटवारे" का, या "बदलाव" का — और सही रास्ता बिना झिझक चुन लेंगे।

🪝 शुरुआत एक सच्ची कहानी से

2019 में एक बड़े बैंक ने अपनी दो शाखाओं की तुलना की। शाखा A ने 200 लोन बाँटे, शाखा B ने 150। कौन बेहतर? ज़ाहिर है A? नहीं! शाखा A के पास 400 आवेदन आए थे, B के पास 200। यानी A की सफलता दर 200/400 = 1/2 और B की 150/200 = 3/4। B जीत गया।

यही है अनुपात की ताकत — और यही है परीक्षकों का सबसे पसंदीदा जाल। वे आपको बड़ी संख्याएँ दिखाकर भटकाते हैं, जबकि असली जवाब अनुपात में छिपा होता है। SSC CGL, IBPS PO और CAT — हर परीक्षा में Ratio से जुड़े सवाल इसीलिए आते हैं, क्योंकि यह अध्याय सीधे Profit-Loss, Mixture, Partnership, Time-Work और Geometry तक फैला हुआ है। Ratio पक्का, तो आधी Quant पक्की।

😰 पहले समस्या को पहचानिए

ज़्यादातर छात्र Ratio में तीन गलतियाँ करते हैं:

1. अनुपात को संख्या समझ लेते हैं — "A:B = 3:2" देखकर A = 3 मान लेते हैं, जबकि A = 3k हो सकता है।
2. बदलाव वाले सवालों में घबरा जाते हैं — "दोनों में 5 जोड़ने पर अनुपात बदल गया" सुनते ही दिमाग जाम।
3. Compound Ratio को जोड़ देते हैं — जहाँ गुणा करनी है, वहाँ जोड़ लगा देते हैं।

अच्छी खबर? तीनों की एक-एक सरल दवा है। चलिए, टुकड़ों में सीखते हैं।

📦 टुकड़ा 1: अनुपात क्या है — तुलना की भाषा

अनुपात (Ratio) दो समान प्रकार की राशियों की तुलना है — भागफल के रूप में। यदि A और B एक ही इकाई में हैं, तो A : B = A/B।

तीन सुनहरे नियम:

• अनुपात इकाई-रहित होता है (5 kg : 2 kg = 5:2, "kg" गायब)।
• अनुपात हमेशा सबसे सरल रूप में लिखा जाता है (12:8 = 3:2)।
• अनुपात के दोनों पदों को एक ही संख्या से गुणा या भाग करने पर अनुपात नहीं बदलता — यही पूरे अध्याय की रीढ़ है।

Antecedent और Consequent: a : b में a पूर्वपद (antecedent), b उत्तरपद (consequent) है।

🧠 Active Recall: बिना ऊपर देखे बताइए — 18 : 24 का सरलतम रूप क्या है? और अनुपात में इकाई क्यों नहीं होती?

📦 टुकड़ा 2: अनुपात के प्रकार — Advanced हथियार

यहाँ Graduation स्तर की असली शुरुआत होती है:

Compound Ratio का नियम याद रखिए: पूर्वपद × पूर्वपद : उत्तरपद × उत्तरपद। जोड़ना कभी नहीं — गुणा ही गुणा!

🧠 Active Recall: (3:4) और (2:5) का Compound Ratio क्या होगा? (उत्तर मन में: 6:20 = 3:10)

📦 टुकड़ा 3: समानुपात — जब दो अनुपात बराबर हों

जब a : b = c : d, तो a, b, c, d समानुपात (Proportion) में हैं। इसे a : b :: c : d लिखते हैं।

स्वर्णिम नियम: बाहरी पदों का गुणनफल = मध्य पदों का गुणनफल
a × d = b × c (Means × Means = Extremes × Extremes)

तीन खास रूप:

• Mean Proportional (मध्य समानुपाती): a और b के बीच x, जहाँ a : x = x : b → x = √(ab)
• Third Proportional (तृतीय समानुपाती): a : b = b : x → x = b²/a
• Fourth Proportional (चतुर्थ समानुपाती): a : b = c : x → x = bc/a

🧠 Active Recall: 4 और 9 का Mean Proportional क्या है? (संकेत: √(4×9) = 6)

📦 टुकड़ा 4: Componendo-Dividendo — परीक्षा का ब्रह्मास्त्र

यदि a/b = c/d, तो:

• Componendo: (a+b)/b = (c+d)/d
• Dividendo: (a−b)/b = (c−d)/d
• Componendo-Dividendo: (a+b)/(a−b) = (c+d)/(c−d)

यह नियम उन सवालों में चमत्कार करता है जहाँ "अंतर" और "योग" एक साथ दिए हों। जैसे: (x+y)/(x−y) = 5/3 दिया हो, तो Componendo-Dividendo से x/y = (5+3)/(5−3) = 8/2 = 4/1। बस, एक पंक्ति में उत्तर!

🧠 Active Recall: यदि (a+b)/(a−b) = 7/3, तो a/b = ? (संकेत: (7+3)/(7−3))

📦 टुकड़ा 5: बँटवारा (Division in a Given Ratio)

₹840 को A और B में 3:4 में बाँटना है। तरीका:

• कुल भाग = 3 + 4 = 7
• A का हिस्सा = (3/7) × 840 = ₹360
• B का हिस्सा = (4/7) × 840 = ₹480

Advanced मोड़: जब बँटवारा 1/2 : 1/3 : 1/4 जैसे भिन्नों में हो, तो पहले LCM (यहाँ 12) से गुणा करके पूर्णांक बनाइए → 6 : 4 : 3। फिर वही तरीका।

🧠 Active Recall: ₹1300 को 1/2 : 1/4 : 1/5 में बाँटना है। पहला कदम क्या होगा? (LCM 20 से गुणा → 10 : 5 : 4)

📦 टुकड़ा 6: बदलाव वाले सवाल — "k-विधि"

सवाल: दो संख्याएँ 3:5 में हैं। दोनों में 10 जोड़ने पर अनुपात 5:7 हो जाता है। संख्याएँ बताइए।

k-विधि:

1. संख्याएँ मानिए 3k और 5k।
2. (3k + 10)/(5k + 10) = 5/7
3. Cross-multiply: 21k + 70 = 25k + 50 → 4k = 20 → k = 5
4. संख्याएँ = 15 और 25।

यही एक विधि आयु, वेतन, मिश्रण — हर "बदलाव" सवाल पर काम करती है। एक विधि, सौ सवाल।

🎭 स्मृति-सहायक ट्रिक (Mnemonic)

"बाहर-बाहर, भीतर-भीतर" — समानुपात a : b :: c : d में बाहरी पद (a, d) आपस में गुणा, भीतरी पद (b, c) आपस में गुणा, और दोनों बराबर। याद करने की तरकीब: कल्पना कीजिए दो दरवाज़े हैं — बाहर वाले बाहर वालों से हाथ मिलाते हैं, भीतर वाले भीतर वालों से — और दोनों जोड़ों की ताकत (गुणनफल) बराबर है!

और Compound Ratio के लिए: "ऊपर-ऊपर की दोस्ती, नीचे-नीचे की दोस्ती" — पूर्वपद पूर्वपद से गुणा, उत्तरपद उत्तरपद से।

📊 सारांश तालिका

🔁 दोहराने का निर्देश

इस अध्याय को 2 दिन बाद ज़रूर दोहराएँ — खासकर Componendo-Dividendo और k-विधि को। दूसरी बार पढ़ते समय हर 🧠 प्रॉम्प्ट का उत्तर पहले खुद दीजिए, फिर जाँचिए। जो प्रॉम्प्ट अटके, उसी टुकड़े को तीसरी बार पढ़िए। Ratio इतना मजबूत कर लीजिए कि Mixture और Partnership के अध्याय आपको "Revision" जैसे लगें!