साधारण ब्याज · पाठ — गणित · स्नातक स्तर

साधारण ब्याज (Simple Interest)

अध्याय की रूपरेखा और सीखने के उद्देश्य

इस अध्याय को पढ़ने के बाद आप सक्षम होंगे:

मूलधन, दर, समय और ब्याज के बीच के संबंध को समझना और सूत्र SI = P×R×T/100 को स्वतंत्र रूप से लगाना
दर या समय बदलने पर ब्याज में होने वाले बदलाव का विश्लेषण करना (दोगुना, तिगुना, n-गुना वाले प्रश्न)
किस्तों (installments), मिश्रित दरों और अलग-अलग अवधियों वाले जटिल प्रश्न हल करना
साधारण ब्याज और चक्रवृद्धि ब्याज के अंतर वाले तुलनात्मक प्रश्नों को सटीकता से सुलझाना
परीक्षा-हॉल में 30–45 सेकंड में प्रश्न पढ़कर सही अप्रोच चुनना

हुक: वह ₹10,000 जो आपको महंगा पड़ गया

सोचिए — आपके दो दोस्त हैं। रोहन ने ₹10,000 किसी से 10% वार्षिक साधारण ब्याज पर उधार लिए, और सोहन ने वही ₹10,000 उसी दर पर चक्रवृद्धि ब्याज पर। तीन साल बाद रोहन ने ₹13,000 लौटाए, जबकि सोहन ने ₹13,310। अंतर सिर्फ़ ₹310? अब यही प्रयोग 20 साल के लिए कीजिए — रोहन देगा ₹30,000, सोहन देगा लगभग ₹67,275। अंतर: ₹37,000 से ज़्यादा!

यही एक छोटा-सा अंतर — "ब्याज पर ब्याज लगे या न लगे" — बैंकों, लोन कंपनियों और आपकी परीक्षा की पूरी दुनिया तय करता है। SSC CGL, IBPS PO और CSAT में साधारण ब्याज से हर साल प्रश्न आते हैं, और अधिकतर छात्र गलती कहाँ करते हैं? सूत्र में नहीं — प्रश्न की भाषा पढ़ने में। चलिए, इस अध्याय को ऐसे पढ़ते हैं कि गलती की गुंजाइश ही खत्म हो जाए।

आम समस्या: "सूत्र तो याद है, फिर भी गलत क्यों?"

अगर आपने कभी मॉक टेस्ट में SI का प्रश्न गलत किया है, तो शायद वजह ये थी:

समय महीनों में दिया था, आपने वर्ष मान लिया
दर प्रतिमाह थी, आपने वार्षिक मान ली
प्रश्न में "मिश्रधन" पूछा था, आपने ब्याज निकालकर रुक गए
"कितने वर्षों में राशि दोगुनी हो जाएगी" में आपने मिश्रधन 2P के बजाय ब्याज 2P मान लिया

पहचानिए — ये सब गणित की नहीं, पढ़ने की गलतियाँ हैं। इस अध्याय में हम हर अवधारणा के साथ उसका "जाल" भी पढ़ेंगे।

भाग 1: ब्याज क्या है? — पैसे का किराया

ब्याज (Interest) को समझने का सबसे सहज तरीका: यह पैसे का किराया है। जैसे आप घर किराए पर लेते हैं और हर महीने किराया देते हैं, वैसे ही जब आप पैसा "किराए पर" (उधार) लेते हैं, तो उसके इस्तेमाल की कीमत चुकाते हैं — वही ब्याज है।

चार मूल शब्द:

मूलधन (Principal, P): जो राशि उधार ली या जमा की गई
दर (Rate, R): प्रति वर्ष, प्रति ₹100 पर ब्याज (% प्रति वर्ष)
समय (Time, T): वर्षों में अवधि
मिश्रधन (Amount, A): मूलधन + ब्याज = P + SI

साधारण ब्याज की पहचान: ब्याज हमेशा मूल मूलधन पर ही लगता है। हर साल का ब्याज बराबर रहता है। पहले साल ₹500 ब्याज, तो दूसरे साल भी ₹500, दसवें साल भी ₹500।

🧠 Active Recall: बिना ऊपर देखे बताइए — साधारण ब्याज में हर वर्ष का ब्याज बराबर क्यों रहता है? मिश्रधन और ब्याज में क्या अंतर है?

भाग 2: मास्टर सूत्र — SI = P×R×T/100

यह सूत्र कहाँ से आया? दर का मतलब है: ₹100 पर 1 वर्ष का ब्याज = R रुपये। तो ₹1 पर 1 वर्ष का ब्याज = R/100। और ₹P पर T वर्ष का ब्याज = P×R×T/100। सूत्र रटने की ज़रूरत नहीं — यह तो बस "प्रतिशत" की परिभाषा है!

इसी एक सूत्र से चारों रूप निकलते हैं:

SI = PRT/100
P = (SI × 100)/(R × T)
R = (SI × 100)/(P × T)
T = (SI × 100)/(P × R)

उदाहरण: ₹6,000 का 8% वार्षिक दर से 3 वर्ष का साधारण ब्याज?
SI = (6000 × 8 × 3)/100 = ₹1,440। मिश्रधन = 6000 + 1440 = ₹7,440।

जाल #1: समय हमेशा वर्षों में बदलें। 6 महीने = 6/12 = 1/2 वर्ष। 73 दिन = 73/365 वर्ष। प्रश्न में "महीने" देखते ही दिमाग में अलार्म बजना चाहिए।

🧠 Active Recall: ₹5,000 पर 6% वार्षिक दर से 8 महीने का SI मन में निकालिए। (उत्तर: 5000×6×(8/12)/100 = ₹200)

भाग 3: "कितने गुना" वाले प्रश्न — परीक्षा का चहेता

क्लासिक प्रश्न: "कोई राशि साधारण ब्याज पर 10% वार्षिक दर से कितने वर्षों में दोगुनी हो जाएगी?"

यहाँ 90% छात्र फँसते हैं। सोचिए ध्यान से: राशि दोगुनी होने का मतलब है मिश्रधन = 2P, यानी ब्याज = P (मूलधन के बराबर)।

P = (P × 10 × T)/100 ⟹ T = 100/10 = 10 वर्ष।

सामान्य नियम (रट लीजिए, बहुत काम आएगा):

राशि n गुनी होने के लिए चाहिए ब्याज = (n−1)P
इसलिए T = (n−1) × 100 / R

दोगुनी: T = 100/R | तिगुनी: T = 200/R | चौगुनी: T = 300/R

उल्टा प्रश्न भी आता है: "कोई राशि 8 वर्षों में दोगुनी हो जाती है, दर बताइए।" R = 100/8 = 12.5% वार्षिक।

🧠 Active Recall: 5% वार्षिक दर से कोई राशि कितने वर्षों में तिगुनी होगी? (उत्तर: 200/5 = 40 वर्ष)

भाग 4: दर या समय बदल जाए तो? — अनुपात की सोच

SI सीधे P, R और T के समानुपाती है। इसका मतलब:

दर दोगुनी → ब्याज दोगुना
समय तिगुना → ब्याज तिगुना
दर दोगुनी + समय आधा → ब्याज वही (2 × 1/2 = 1)

प्रश्न: "यदि दर 4% से बढ़ाकर 6% कर दी जाए, तो 5 वर्ष का ब्याज कितना बढ़ेगा (मूलधन ₹8,000)?"
बढ़ोतरी = P × ΔR × T/100 = 8000 × 2 × 5/100 = ₹800। ध्यान दें — पूरा ब्याज दोबारा निकालने की ज़रूरत नहीं, सिर्फ़ अंतर पर काम करें।

दो अलग-अलग दरों वाला प्रश्न: "₹12,000 का कुछ भाग 5% पर और शेष 8% पर उधार दिया गया। 2 वर्ष का कुल ब्याज ₹1,560 है। प्रत्येक भाग बताइए।"
ऐसे प्रश्नों में मान लीजिए पहला भाग x है:
(x×5×2)/100 + ((12000−x)×8×2)/100 = 1560
⟹ 10x + 16(12000−x) = 156000
⟹ 192000 − 6x = 156000 ⟹ 6x = 36000 ⟹ x = ₹6,000
यानी दोनों भाग ₹6,000–₹6,000 हैं। (जाँच: 6000 पर 5% से 2 वर्ष का ब्याज = ₹600; 6000 पर 8% से 2 वर्ष का ब्याज = ₹960; कुल = ₹1,560 ✓) ऐसे प्रश्नों का शॉर्टकट — एलीगेशन विधि — Short Tricks खंड में देखें।

🧠 Active Recall: दर आधी और समय दोगुना कर दें तो SI पर क्या असर पड़ेगा? (उत्तर: कोई असर नहीं — SI वही रहेगा)

भाग 5: किस्तों (Installments) वाले प्रश्न — Advanced स्तर की असली परीक्षा

प्रश्न पैटर्न: "₹4,300 का ऋण दो समान वार्षिक किस्तों में चुकाना है, दर 5% वार्षिक साधारण ब्याज। प्रत्येक किस्त बताइए।"

तर्क: पहली किस्त 1 वर्ष बाद, दूसरी 2 वर्ष बाद दी जाती है। माना प्रत्येक किस्त x है। आज की तारीख़ से देखें तो हर किस्त का वर्तमान मूल्य (present value) किस्त से कम होता है, क्योंकि वह राशि ब्याज कमा चुकी होती है।

सूत्र (दो समान वार्षिक किस्तें, साधारण ब्याज):
P = x/(1 + RT₁/100) + x/(1 + RT₂/100) … जहाँ T₁ = 1, T₂ = 2 वर्ष

P = x(100/105) + x(100/110) = x(220/231 + 210/231) = x(430/231)

4300 = x × 430/231 ⟹ x = 4300 × 231/430 = ₹2,310

जाँच: पहली किस्त ₹2,310 का वर्तमान मूल्य = 2310 × 100/105 = ₹2,200; दूसरी किस्त का = 2310 × 100/110 = ₹2,100। कुल = 2200 + 2100 = ₹4,300 ✓

मुख्य बात: किस्त-प्रश्नों में हर किस्त का वर्तमान मूल्य निकालकर जोड़ा जाता है, और वह योग ऋण (P) के बराबर होता है। यही अवधारणा IBPS PO Mains में बार-बार पूछी जाती है।

🧠 Active Recall: किस्त वाले प्रश्न में हम प्रत्येक किस्त को किस रूप में बदलकर जोड़ते हैं? (उत्तर: वर्तमान मूल्य / present value)

भाग 6: SI बनाम CI — तुलना वाले प्रश्न

Advanced परीक्षाओं (CGL Tier-II, PO Mains) का पसंदीदा पैटर्न: "2 वर्ष के लिए SI और CI का अंतर ₹50 है, दर 10% है, मूलधन बताइए।"

2 वर्ष के लिए अंतर का सूत्र: CI − SI = P × (R/100)²
3 वर्ष के लिए: CI − SI = P × (R/100)² × (3 + R/100)

ऊपर के प्रश्न में: 50 = P × (10/100)² = P/100 ⟹ P = ₹5,000।

याद रखने की कुंजी: पहले वर्ष SI और CI बराबर होते हैं। अंतर दूसरे वर्ष से जन्म लेता है — क्योंकि CI में पहले वर्ष के ब्याज पर भी ब्याज लगता है।

🧠 Active Recall: 2 वर्ष के SI–CI अंतर का सूत्र बोलिए। पहले वर्ष दोनों बराबर क्यों होते हैं?

🎭 स्मृति-सहायक ट्रिक (Mnemonic): "पी-आर-टी — पार्टी!"

सूत्र SI = PRT/100 को याद करने की ट्रिक:

> "पार्टी में 100 मेहमान" — P (मूलधन) ने R (दर) के साथ T (समय) तक पार्टी की, और बिल आया 100 से भाग देकर!

और "n गुना" वाले प्रश्नों के लिए:

> "गुना में से एक घटाओ, सौ से गुणा, दर से भाग" — T = (n−1)×100/R

SI–CI अंतर के लिए:

> "दो साल, दर का वर्ग" — 2 वर्ष का अंतर = P(R/100)²

सारांश तालिका

अवधारणा	सूत्र / नियम	याद रखें
साधारण ब्याज	SI = P×R×T/100	T हमेशा वर्षों में
मिश्रधन	A = P + SI = P(1 + RT/100)	"मिश्रधन" ≠ "ब्याज"
मूलधन	P = SI×100/(R×T)	तीनों रूप एक ही सूत्र से
n गुना होने का समय	T = (n−1)×100/R	ब्याज = (n−1)P चाहिए
दर/समय परिवर्तन	SI ∝ P, R, T	अंतर पर काम करें, पूरा पुनर्गणना नहीं
किस्तें	P = Σ x/(1 + RTᵢ/100)	हर किस्त का वर्तमान मूल्य
2 वर्ष SI–CI अंतर	P(R/100)²	पहले वर्ष दोनों बराबर
3 वर्ष SI–CI अंतर	P(R/100)²(3 + R/100)	केवल साधारण ब्याज पर लागू

परीक्षा-जाल चेकलिस्ट: ① समय महीनों/दिनों में तो नहीं? ② दर प्रतिमाह तो नहीं? ③ ब्याज पूछा है या मिश्रधन? ④ "दोगुनी" का मतलब A = 2P, यानी SI = P — यह भूले तो नहीं?

🔁 इसे 2 दिन बाद दोहराएँ

आज आपने SI के सूत्र, n-गुना नियम, किस्तें और SI–CI अंतर पढ़े। 2 दिन बाद बिना खोले ये पाँच बातें कागज़ पर लिखने की कोशिश करें: (1) SI का मास्टर सूत्र, (2) तिगुनी होने का समय-सूत्र, (3) 2 वर्ष के SI–CI अंतर का सूत्र, (4) किस्त-प्रश्न की मूल अवधारणा, (5) चार परीक्षा-जाल। जो भूल गए, वही दोबारा पढ़ें — यही Active Recall आपकी असली तैयारी है।