लुप्त पद

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लुप्त पद (Missing Term)

अध्याय की रूपरेखा और सीखने के लक्ष्य

इस अध्याय के अंत तक आप ये करने में सक्षम होंगे:

1. अंतर (differences), अनुपात (ratios), घात (powers) और मिश्रित संक्रियाओं (mixed operations) पर बनी संख्या-श्रृंखला में लुप्त पद ज्ञात करना।
2. अक्षरों को संख्याओं में बदलकर अक्षर-श्रृंखला और अक्षरांकीय (alphanumeric) श्रृंखला हल करना।
3. आकृतियों और 3×3 ग्रिड (grid) में लुप्त संख्या ज्ञात करना, जहाँ हर पंक्ति या स्तंभ में एक नियम छिपा होता है।
4. ऐसी श्रृंखला में "गलत पद" पहचानना जो पहली नज़र में सही लगती है।
5. एक निश्चित जाँच-क्रम अपनाना ताकि आप कभी भी किसी प्रश्न को देखकर बिना योजना के न रह जाएँ।

1. शुरुआत: जासूस का आखिरी सुराग

एक जासूस की डायरी सोचिए: 2, 6, 12, 20, 30, ___। हर संख्या एक पदचिह्न है, और एक पदचिह्न गायब है। अपराधी (यानी नियम) हर बार उसी तरीके से चला है — आपको बस उसकी चाल पहचाननी है।

लुप्त पद का प्रश्न बस इतना ही है: एक पैटर्न, जिसमें एक छेद है। परीक्षक नियम छिपाता है, और आपके पास उसे खोजने के लिए लगभग 40 सेकंड होते हैं। अच्छी खबर? स्नातक (Graduation) स्तर पर नियम एक छोटे से परिवार से आते हैं — एक बार परिवार को जान लिया, तो हर सदस्य को पहचान लोगे।

2. "मुझे पैटर्न नहीं दिखता!" — आम परेशानी

ज़्यादातर विद्यार्थी यहाँ तीन वजहों से अंक गँवाते हैं:

• वे सिर्फ़ दो पदों से नियम का अनुमान लगाते हैं और जाँचना बंद कर देते हैं।
• वे सरल तरीकों (अंतर) से पहले जटिल विचारों (घन, अभाज्य संख्याएँ) की ओर कूद जाते हैं।
• वे अक्षरों की स्थिति गलत गिनते हैं (A = 1, न कि 0)।

अगर आप कभी अटक गए हैं, तो यह प्रतिभा की समस्या नहीं — क्रम की समस्या है। यह अध्याय आपको वह क्रम देता है।

🧠 सक्रिय स्मरण (Active Recall): बिना ऊपर देखे, वे तीन कारण बताइए जिनसे विद्यार्थी अटकते हैं। इनमें से कौन-सी गलती आपने पहले की है?

3. खंड 1 — संख्या-श्रृंखला: पाँच परिवार

(a) अंतर-आधारित श्रृंखला (Difference series)

पड़ोसी पदों के बीच का अंतर लिखिए।

• 3, 7, 13, 21, 31, ? → अंतर 4, 6, 8, 10 → अगला अंतर 12 → 43।
• अगर पहले अंतर एक जैसे न हों, तो देखिए कि अंतर खुद किस नियम से बढ़ रहे हैं: 2, 5, 11, 20, 32, ? → पहले अंतर 3, 6, 9, 12 — ये 3-3 से बढ़ रहे हैं (यानी दूसरे अंतर 3, 3, 3 — स्थिर) → अगला अंतर 15 → 47।

(b) अनुपात (गुणन) श्रृंखला (Ratio series)

हर पद को पिछले पद से भाग दीजिए।

• 5, 15, 45, 135, ? → ×3 → 405।
• बदलता अनुपात: 2, 2, 4, 12, 48, ? → ×1, ×2, ×3, ×4 → ×5 → 240।

(c) घात: वर्ग और घन (Squares and Cubes)

• 4, 9, 25, 49, 121, ? → अभाज्य संख्याओं 2, 3, 5, 7, 11 के वर्ग → 13² = 169।
• 0, 7, 26, 63, 124, ? → n³ − 1 → 6³ − 1 = 215।

(d) मिश्रित संक्रियाएँ (Mixed operations)

पद अंतर के लिए बहुत तेज़ी से बढ़ते हैं, पर अनुपात भी स्थिर नहीं है: "× कुछ, ± कुछ" आज़माइए।

• 3, 7, 15, 31, 63, ? → ×2 + 1 → 127।
• 2, 5, 14, 41, 122, ? → ×3 − 1 → 365।

(e) एक में दो श्रृंखलाएँ (एकांतर पद — Alternate terms)

विषम स्थानों पर एक नियम, सम स्थानों पर दूसरा नियम।

• 2, 10, 4, 20, 8, 40, ? → विषम स्थान 2, 4, 8 (×2) → 16।

🧠 सक्रिय स्मरण: 6, 11, 21, 41, 81, ? — यह किस परिवार की है? (उत्तर: ×2 − 1 → 161।)

4. खंड 2 — अक्षर-श्रृंखला: अक्षरों को संख्याओं में बदलिए

हमेशा A = 1 … Z = 26 से बदलिए। "EJOTY" याद रखने की युक्ति से आधार-अक्षर याद रखिए: E = 5, J = 10, O = 15, T = 20, Y = 25।

• B, E, I, N, ? → 2, 5, 9, 14 → अंतर 3, 4, 5 → अगला 6 → 20 = T।
• Z, X, U, Q, ? → 26, 24, 21, 17 → −2, −3, −4 → −5 → 12 = L।
• अक्षर-युग्म: AZ, BY, CX, ? → पहला अक्षर आगे बढ़ता है, दूसरा पीछे (विपरीत युग्मों का योग 27) → DW।

चक्रीय क्रम (Wrap-around): Z के बाद फिर A आता है (26 + 1 → 1)।

5. खंड 3 — अक्षरांकीय श्रृंखला (Alphanumeric Series)

हर भाग को अलग-अलग श्रृंखला की तरह देखिए।

• A1, C3, E5, G7, ? → अक्षर एक-एक छोड़कर (A, C, E, G, I), संख्याएँ विषम हैं → I9।
• 3C, 5E, 8H, 12L, ? → संख्याएँ +2, +3, +4 से बढ़ती हैं, तो अगला +5 = 17; हर अक्षर उसी संख्या की स्थिति वाला अक्षर है (3 = C, 5 = E, 8 = H, 12 = L) → 17Q।

🧠 सक्रिय स्मरण: R की स्थिति क्या है? (संकेत: T = 20, तो R = 18।)

6. खंड 4 — आकृतियों और ग्रिड में लुप्त संख्या

3×3 ग्रिड में पहले पंक्तियाँ, फिर स्तंभ जाँचिए:

पंक्ति का नियम: पहली × दूसरी = तीसरी → 7 × 8 = 56।

ग्रिड के आम नियम: पंक्ति का योग स्थिर हो; तीसरी = (पहली + दूसरी) × k; बीच वाली = बाकी दो का औसत; पहली दो के वर्गों का योग = तीसरी।

वृत्त या त्रिभुज वाली आकृतियों में बीच की संख्या आमतौर पर बाहरी संख्याओं से बनती है (योग, गुणनफल या अंतर)। हर आकृति जाँचिए — नियम सभी आकृतियों पर फिट होना चाहिए, सिर्फ़ एक पर नहीं।

7. खंड 5 — गलत पद (Wrong Term)

"वह पद ज्ञात कीजिए जो श्रृंखला में ठीक नहीं बैठता": 3, 5, 9, 17, 31, 65।
नियम ×2 − 1: 3, 5, 9, 17, 33, 65 → 31 गलत पद है।
युक्ति: जो पद साफ़-साफ़ मेल खाते हैं, उनसे नियम निकालिए, फिर हर पद को एक-एक करके परखिए।

8. निश्चित जाँच-क्रम (याद रखने की युक्ति: "D-R-P-M-A")

1. D — अंतर (Differences) (पहले अंतर, फिर अंतरों का नियम/दूसरे अंतर)
2. R — अनुपात (Ratios)
3. P — घात (Powers) (वर्ग, घन, ± छोटी संख्या)
4. M — मिश्रित (Mixed) (× फिर ±)
5. A — एकांतर पद (Alternate terms) (दो श्रृंखलाएँ)

हर चरण पर अधिकतम 15 सेकंड दीजिए। पाँचवें चरण के बाद भी कुछ न दिखे, तो आगे बढ़िए और बाद में लौटिए।

9. सारांश तालिका

📅 इस अध्याय को 2 दिन बाद दोहराइए, फिर तालिका देखे बिना एक अभ्यास-सेट हल कीजिए।

⚠️ सावधानी: परीक्षक का जाल

1. दिए गए पदों पर दो नियम फिट हो जाते हैं। 1, 2, 4, ? ×2 (→ 8) भी हो सकता है और +1, +2, +3 (→ 7) भी। विकल्पों में इनमें से सिर्फ़ एक होगा — नियम पक्का करने से पहले हमेशा विकल्प देख लीजिए।
2. आखिरी चरण में नियम बदल जाता है। कोई श्रृंखला तीन पदों तक ×2 जैसी दिखती है और फिर ×2 + 2 हो जाती है। नियम को हर दिए गए पद पर परखिए, सिर्फ़ पहले तीन पर नहीं।
3. अक्षरों में एक का फर्क। A = 0 से गिनने पर उत्तर ठीक एक अक्षर आगे-पीछे आता है — और वह गलत अक्षर विकल्पों में ज़रूर होता है।