भिन्न और दशमलव

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भिन्न और दशमलव (Fractions & Decimals)

🎯 इस अध्याय में आप क्या सीखेंगे

• भिन्न क्या है और उसके प्रकार (उचित, अनुचित, मिश्रित)
• भिन्नों की तुलना, जोड़-घटाव, गुणा-भाग
• दशमलव संख्याएँ और उन पर संक्रियाएँ
• भिन्न ↔ दशमलव ↔ प्रतिशत में आसान बदलाव
• परिमेय और अपरिमेय संख्याओं की पहचान
• परीक्षा में आने वाली ट्रिकी तुलना-वाली समस्याएँ

🚀 शुरुआत: एक पिज़्ज़ा ने बदल दी परीक्षा की तकदीर!

सोचिए — SSC CGL की परीक्षा चल रही है। सामने प्रश्न आया: *"3/7 और 4/9 में बड़ा कौन?"* एक छात्र ने 40 सेकंड में LCM निकाला, दूसरे ने 5 सेकंड में क्रॉस-गुणा करके उत्तर टिक किया। वही बचे हुए 35 सेकंड उसने अगले प्रश्न में लगाए — और वही अंतर बना मेरिट में और मेरिट से बाहर में।

भिन्न और दशमलव कोई अलग टॉपिक नहीं है — ये गणित की भाषा है। प्रतिशत, अनुपात, लाभ-हानि, औसत — हर अध्याय की नींव यहीं बनती है। जो इसे पकड़ लेता है, आधा पेपर पहले ही जीत लेता है।

📌 भिन्न (Fraction) क्या है?

भिन्न किसी पूर्ण का हिस्सा दर्शाती है। इसे a/b के रूप में लिखते हैं, जहाँ:

• a = अंश (Numerator) — ऊपर की संख्या, बताती है कितने हिस्से लिए गए
• b = हर (Denominator) — नीचे की संख्या, बताती है कुल कितने बराबर हिस्से हैं

जैसे 3/4 का मतलब: पूरी चीज़ को 4 बराबर हिस्सों में बाँटो, उनमें से 3 ले लो।

याद रखने की ट्रिक: 🧠 *"हर नीचे, अंश ऊपर — हर हमेशा हारता है (नीचे रहता है)!"*

भिन्न के प्रकार

मिश्रित → अनुचित: पूर्णांक × हर + अंश, बटे हर। जैसे 2¾ = (2×4+3)/4 = 11/4
अनुचित → मिश्रित: अंश को हर से भाग दो — भागफल पूर्णांक, शेषफल नया अंश। 11/4 = 2¾

🧠 Active Recall: बिना ऊपर देखे बताइए — 17/5 को मिश्रित भिन्न में बदलिए। और 3⅖ को अनुचित भिन्न में? (उत्तर: 3⅖... नहीं-नहीं, पहले खुद सोचिए! 17/5 = 3⅖ और 3⅖ = 17/5)

⚖️ भिन्नों की तुलना — परीक्षा का पसंदीदा खेल

दो भिन्नों a/b और c/d की तुलना के लिए क्रॉस-गुणा (Cross-Multiplication) सबसे तेज़ तरीका है:

• a × d और c × b निकालो
• जिसका गुणनफल बड़ा, वही भिन्न बड़ी

उदाहरण: 3/7 बनाम 4/9
→ 3 × 9 = 27 और 4 × 7 = 28
→ 28 > 27, इसलिए 4/9 > 3/7 ✔ (बस 5 सेकंड!)

एक और तेज़ नियम: अगर अंश और हर का अंतर बराबर हो (जैसे 3/4, 5/6, 7/8 — सबमें अंतर 1), तो जिसका हर बड़ा, वही भिन्न बड़ी। यानी 7/8 > 5/6 > 3/4।

🧠 Active Recall: 5/8 और 7/11 में बड़ा कौन? क्रॉस-गुणा करके देखिए। (5×11=55, 7×8=56 → 7/11 बड़ी)

➕ भिन्नों का जोड़ और घटाव

नियम: पहले हर बराबर करो (LCM लो), फिर अंश जोड़ो/घटाओ।

उदाहरण: 2/3 + 3/4
→ LCM(3,4) = 12
→ 2/3 = 8/12 और 3/4 = 9/12
→ 8/12 + 9/12 = 17/12 = 1⁵⁄₁₂

शॉर्टकट (जब हर अलग-अलग हों): a/b + c/d = (ad + bc)/bd
जैसे 2/3 + 3/4 = (2×4 + 3×3)/(3×4) = (8+9)/12 = 17/12 ✔

✖️ भिन्नों का गुणा और भाग

गुणा सबसे आसान है: अंश × अंश, हर × हर। LCM की ज़रूरत ही नहीं!
2/3 × 3/5 = 6/15 = 2/5

भाग = पलटकर गुणा: दूसरी भिन्न को उल्टा (Reciprocal) करके गुणा कर दो।
2/3 ÷ 4/5 = 2/3 × 5/4 = 10/12 = 5/6

🎵 Mnemonic — भाग का जादू: *"दूसरी भिन्न की कर दो उलटी-पुलटी, गुणा करके मचा दो धूम!"*
(यानी: ÷ देखते ही दूसरी भिन्न पलटो और × कर दो।)

"का" (of) का मतलब गुणा: "2/3 का 3/4" = 2/3 × 3/4 = 1/2। परीक्षा में "of" देखते ही × लगाइए।

🧠 Active Recall: 5/6 ÷ 10/9 = ? (उत्तर: 5/6 × 9/10 = 45/60 = 3/4)

🔢 दशमलव (Decimals) — भिन्न का आधुनिक रूप

दशमलव कुछ नहीं, बस हर 10, 100, 1000... वाली भिन्न का छोटा रूप है:

• 3/10 = 0.3
• 47/100 = 0.47
• 125/1000 = 0.125

दशमलव बिंदु के दाईं ओर: पहला स्थान दशांश (tenths), दूसरा शतांश (hundredths), तीसरा सहस्त्रांश (thousandths)।

दशमलव पर संक्रियाएँ

जोड़/घटाव: दशमलव बिंदु को एक लाइन में रखो, फिर सामान्य जोड़।
4.25 + 0.5 = 4.75 (बिंदु के नीचे बिंदु!)

गुणा: पहले बिंदु भूलकर गुणा करो, फिर दोनों संख्याओं के कुल दशमलव स्थान गिनकर बिंदु लगाओ।
0.4 × 0.25 → 4 × 25 = 100 → कुल 3 दशमलव स्थान → 0.100 = 0.1

भाग:

• 10, 100, 1000 से भाग = बिंदु को उतने स्थान बाईं ओर खिसकाओ। 45.6 ÷ 100 = 0.456
• 10, 100 से गुणा = बिंदु दाईं ओर। 4.56 × 100 = 456
• दशमलव से भाग = दोनों को 10/100 से गुणा करके भाजक को पूर्णांक बनाओ। 4.5 ÷ 0.15 = 450 ÷ 15 = 30

🧠 Active Recall: 0.36 ÷ 0.04 = ? (उत्तर: 36 ÷ 4 = 9)

🔄 भिन्न ↔ दशमलव ↔ प्रतिशत: त्रिकोण का खेल

भिन्न → दशमलव: अंश में हर से भाग दो। 3/8 = 0.375

दशमलव → भिन्न: बिंदु हटाओ, नीचे उतने शून्य जितने दशमलव स्थान। 0.375 = 375/1000 = 3/8

भिन्न → प्रतिशत: × 100। 3/8 = 37.5%

परीक्षा-हितैषी याद-करने वाली तालिका (रट लीजिए!):

🎵 Mnemonic: *"आठ का आधा साढ़े बारह"* — 1/8 = 12.5%, तो 1/16 = 6.25% (आधा) और 1/4 = 25% (दोगुना)। एक याद, चार फ्री!

♾️ आवर्ती दशमलव (Recurring Decimals)

कुछ भिन्न भाग देने पर कभी खत्म नहीं होतीं — अंक दोहराते रहते हैं:

• 1/3 = 0.333… = 0.3̄
• 1/7 = 0.142857142857… = 0.142857̄

आवर्ती → भिन्न की ट्रिक:

• शुद्ध आवर्ती (जैसे 0.777…): दोहराने वाले अंक ऊपर, नीचे उतने 9। 0.7̄ = 7/9, 0.45̄ = 45/99 = 5/11
• मिश्रित आवर्ती (जैसे 0.1666…): (पूरी संख्या − गैर-आवर्ती भाग) / (उतने 9 + उतने 0)। 0.166̄ = (16−1)/90 = 15/90 = 1/6

परिमेय बनाम अपरिमेय: जो संख्या p/b के रूप में लिखी जा सके (सांत या आवर्ती दशमलव) = परिमेय (Rational)। जो न लिखी जा सके (असांत-अनावर्ती, जैसे √2, π) = अपरिमेय (Irrational)।

🧠 Active Recall: 0.222… को भिन्न में लिखिए। (उत्तर: 2/9)

🎯 परीक्षा-स्तर का एक मिश्रित उदाहरण

प्रश्न: किसी संख्या का 3/5, उसी संख्या के 1/4 से 42 अधिक है। संख्या क्या है?

हल: माना संख्या = x
→ (3/5)x − (1/4)x = 42
→ LCM 20: (12/20 − 5/20)x = 42
→ (7/20)x = 42
→ x = 42 × 20/7 = 120 ✔

देखा? भिन्न का LCM खेल जानते हो तो ऐसे प्रश्न 30 सेकंड के हैं।

📋 सारांश तालिका — एक नज़र में पूरा अध्याय

🔁 दोहराने का संकेत

✅ इस अध्याय को 2 दिन बाद ज़रूर दोहराएँ — खासकर भिन्न-दशमलव-प्रतिशत तालिका और क्रॉस-गुणा ट्रिक।
✅ दोहराते समय पहले 🧠 Active Recall प्रश्नों को बिना देखे हल करने की कोशिश करें।
✅ फिर Practice Set 1 से अभ्यास शुरू करें — याद रखिए, गणित पढ़ने से नहीं, करने से आता है!