मिश्रण और पृथ्थीकरण

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मिश्रण और एलिगेशन (Mixture and Alligation)

सीखने के लक्ष्य

इस अध्याय के अंत तक आप ये कर पाएँगे:

1. किसी मिश्रण का औसत मूल्य या सांद्रता (strength) निकालना।
2. एलिगेशन क्रॉस (alligation cross) से यह जानना कि दो वस्तुओं को किस अनुपात में मिलाना चाहिए।
3. बार-बार प्रतिस्थापन (repeated replacement) वाले प्रश्न हल करना (दूध निकालना, पानी मिलाना)।
4. मिश्रण में एक घटक मिलाने पर नया अनुपात निकालना।
5. एलिगेशन को किसी भी "भारित औसत (weighted average)" प्रश्न पर लागू करना — कीमतें, चाल, अंक, लाभ।

शुरुआती कहानी: चाय की दुकान की पहेली

एक चाय-दुकान वाला ₹200 प्रति किग्रा वाली चायपत्ती को ₹300 प्रति किग्रा वाली चायपत्ती से मिलाता है। वह चाहता है कि मिश्रण की कीमत ठीक ₹240 प्रति किग्रा हो। उसे दोनों में से कितना-कितना लेना चाहिए? आप समीकरण बना सकते हैं — या एक छोटा-सा क्रॉस बनाकर 10 सेकंड में उत्तर पा सकते हैं। यही क्रॉस एलिगेशन (alligation) है।

विद्यार्थी कहाँ फँसते हैं

• दो कीमतों का साधारण औसत निकाल लेते हैं, भले ही मात्राएँ अलग-अलग हों।
• एलिगेशन का अनुपात उल्टा लिख देते हैं।
• प्रतिस्थापन वाले प्रश्नों में हर बार उतनी ही मात्रा घटा देते हैं।

🧠 सक्रिय स्मरण (Active Recall): अगर ₹200 और ₹300 वाली चाय की बराबर मात्रा मिलाई जाए, तो मिश्रण की कीमत क्या होगी? और अगर मात्राएँ बराबर न हों तो?

खंड 1: माध्य मूल्य (Mean Price / Weighted Average)

माध्य मूल्य = (q₁ × c₁ + q₂ × c₂) ÷ (q₁ + q₂)

उदाहरण: 3 किग्रा ₹40 की दर से और 2 किग्रा ₹50 की दर से → (120 + 100) ÷ 5 = ₹44 प्रति किग्रा।

खंड 2: एलिगेशन क्रॉस (Alligation Cross)

   सस्ती (c)            महँगी (d)
            \          /
             माध्य (m)
            /          \
     (d − m)            (m − c)

सस्ती : महँगी = (d − m) : (m − c)

चाय का उदाहरण: c = 200, d = 300, m = 240 → (300 − 240) : (240 − 200) = 60 : 40 = 3 : 2।

याद रखने की युक्ति — "क्रॉस करो और घटाओ, दूर वाला पास वाले का": हर मात्रा *दूसरी* कीमत की माध्य से दूरी के बराबर होती है।

🧠 सक्रिय स्मरण: चाय के उदाहरण में सस्ती चाय का हिस्सा ज़्यादा क्यों आता है?

खंड 3: प्रतिस्थापन (Removal and Refilling)

एक बर्तन में V लीटर दूध है। x लीटर निकालकर उसकी जगह पानी भरा जाता है, और यह n बार होता है।

बचा दूध = V × (1 − x/V)ⁿ

उदाहरण: 80 लीटर दूध, 20 लीटर बदला गया, दो बार → 80 × (3/4)² = 45 लीटर (40 नहीं)।

खंड 4: एक घटक मिलाना

50 लीटर में दूध : पानी = 4 : 1 → दूध 40, पानी 10। अब 10 लीटर पानी और मिलाएँ → 40 : 20 = 2 : 1।

खंड 5: मिश्रण से आगे भी एलिगेशन

दो समूहों का कोई भी औसत इसी तरह निकलता है: औसत चाल, दो कक्षाओं के औसत अंक, बिक्री के दो हिस्सों पर लाभ।

सारांश तालिका

📅 इस अध्याय को 2 दिन बाद दोहराएँ, फिर टाइमर लगाकर एक अभ्यास सेट हल करें।

⚠️ सावधानी: परीक्षक का जाल

1. उल्टा अनुपात: विकल्पों में उल्टा अनुपात हमेशा मौजूद होता है। सस्ती वस्तु का हिस्सा (महँगी − माध्य) होता है।
2. रैखिक प्रतिस्थापन (linear replacement): हर बार x लीटर दूध घटाना गलत है, क्योंकि बाद में निकाले गए मिश्रण में पानी भी होता है।
3. साधारण औसत: दो सांद्रताओं का औसत बिना आयतन से भारित किए निकालना।