अनुपात और समानुपात

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अनुपात और समानुपात (Ratio & Proportion)

अध्याय की रूपरेखा और सीखने के उद्देश्य

इस अध्याय को पढ़ने के बाद आप सक्षम होंगे:

• अनुपात की अवधारणा, उसके प्रकार और सरलीकरण को समझना
• समानुपात और उससे जुड़े नियमों (चतुर्थ समानुपाती, मध्य समानुपाती, तृतीय समानुपाती) को लागू करना
• आय, व्यय, वेतन, मिश्रण और साझेदारी जैसे वास्तविक प्रश्नों को अनुपात से हल करना
• परीक्षा में आने वाले "ट्रैप" प्रश्नों को पहचानना और जल्दी हल करना

🎬 शुरुआत: एक सीखने वाली कहानी

कल्पना कीजिए — एक हलवाई ने अपनी पिज़्ज़ा-जैसी डिश की रेसिपी बदली। उसने चीज़ और सॉस की मात्रा बराबर-बराबर घटा दी — दोनों में से 50 ग्राम कम कर दिया। उसका मानना था कि "स्वाद वही रहेगा, क्योंकि दोनों से समान मात्रा घटी है।"

नतीजा? स्वाद बिल्कुल बदल गया!

क्यों? क्योंकि स्वाद अंतर पर नहीं, अनुपात पर निर्भर करता है। अगर चीज़ 200 ग्राम और सॉस 100 ग्राम थी (अनुपात 2:1), तो 50-50 घटाने पर अनुपात बन गया 150:50 = 3:1 — स्वाद पूरी तरह बदल गया!

यही गलती परीक्षा में बहुत से छात्र करते हैं — वे सोचते हैं कि "दोनों में समान संख्या जोड़ने/घटाने से अनुपात नहीं बदलता।" बदलता है! और परीक्षक इसी पर सवाल बनाता है।

😰 आम समस्या: "अनुपात तो आता है, फिर भी गलत हो जाता है"

अगर आपने कभी सोचा है — "अनुपात तो बच्चों वाला टॉपिक है, बस भाग देना है" — तो रुकिए। परीक्षाओं में इसी "बच्चों वाले" टॉपिक से ऐसे प्रश्न आते हैं जहाँ बहुत से छात्र फँसते हैं:

• दो अनुपातों को मिलाना (A:B और B:C दिया हो, तो A:B:C निकालना)
• अनुपात में जोड़/घटाव वाले प्रश्न ("कितना जोड़ा जाए कि अनुपात बदल जाए")
• आय-व्यय वाले प्रश्न जहाँ दो अनुपात एक साथ दिए होते हैं

अच्छी खबर? इन सबके पीछे सिर्फ़ 3-4 मूल विचार हैं। इस अध्याय में हम उन्हीं को पकड़ेंगे — एक-एक टुकड़ा करके।

🧩 टुकड़ा 1: अनुपात क्या है?

अनुपात दो राशियों की तुलना का तरीका है — यह बताता है कि एक राशि दूसरी की कितनी गुना है।

• a और b का अनुपात = a : b = a/b
• a = पूर्व पद, b = उत्तर पद
• अनुपात हमेशा समान इकाइयों की राशियों में निकाला जाता है (2 किग्रा : 500 ग्राम = 2000:500 = 4:1)
• अनुपात का कोई मात्रक नहीं होता

सरलतम रूप: जैसे भिन्न को काटते हैं, वैसे ही अनुपात को भी। 12:18 = 2:3 (दोनों को 6 से भाग)।

🧠 सक्रिय स्मरण: बिना ऊपर देखे बताइए — 750 ग्राम और 2 किग्रा का अनुपात क्या होगा? (संकेत: पहले इकाई समान करो! उत्तर: 750:2000 = 3:8)

🧩 टुकड़ा 2: अनुपात के प्रकार (परीक्षा की भाषा में)

परीक्षा में ये शब्द सीधे-सीधे पूछे जाते हैं:

🧠 सक्रिय स्मरण: 3:5 का द्विगुण अनुपात और 2:3 का त्रिगुण अनुपात लिखिए। (उत्तर: 9:25 और 8:27)

🧩 टुकड़ा 3: दो अनुपातों को मिलाना — सबसे बड़ा हथियार

सवाल: A:B = 2:3 और B:C = 4:5, तो A:B:C = ?

ट्रिक (सेतु विधि): बीच वाली राशि (B) को दोनों में बराबर करो।

• A:B = 2:3 → B = 3
• B:C = 4:5 → B = 4
• B को बराबर करने के लिए लघुत्तम समापवर्त्य (3,4) = 12:
• A:B = 2:3 = 8:12 (4 से गुणा)
• B:C = 4:5 = 12:15 (3 से गुणा)
• ∴ A:B:C = 8:12:15

यही तरीका 3-4 अनुपातों की शृंखला में भी काम करता है। परीक्षाओं में अनुपात मिलाने के प्रश्न बार-बार पूछे जाते हैं — इस विधि को अच्छी तरह सीख लीजिए।

🧠 सक्रिय स्मरण: A:B = 3:4, B:C = 2:5, तो A:B:C = ? (उत्तर: B को 4 और 2 → लघुत्तम 4; A:B = 3:4, B:C = 4:10 ⇒ 3:4:10)

🧩 टुकड़ा 4: समानुपात

जब दो अनुपात बराबर हों, तो वे समानुपात में हैं:

a : b = c : d ⇒ a, b, c, d समानुपात में हैं।

• a और d = बाह्य पद, b और c = मध्य पद
• सुनहरा नियम: बाह्य पदों का गुणनफल = मध्य पदों का गुणनफल → a × d = b × c

तीन खास नाम (परीक्षा में सीधे पूछे जाते हैं):

1. चतुर्थ समानुपाती: a:b = c:x ⇒ x = bc/a
2. तृतीय समानुपाती: a:b = b:x ⇒ x = b²/a
3. मध्य समानुपाती: a:x = x:b ⇒ x = √(ab)

🧠 सक्रिय स्मरण: 4 और 9 का मध्य समानुपाती? 3 और 12 का तृतीय समानुपाती? (उत्तर: √36 = 6; 12²/3 = 48)

🧩 टुकड़ा 5: जोड़-घटाव वाले प्रश्न (परीक्षक का पसंदीदा ट्रैप)

सवाल: दो संख्याएँ 3:5 के अनुपात में हैं। प्रत्येक में 10 जोड़ने पर अनुपात 5:7 हो जाता है। संख्याएँ बताइए।

हल: माना संख्याएँ 3x और 5x हैं।

(3x + 10)/(5x + 10) = 5/7
⇒ 7(3x + 10) = 5(5x + 10)
⇒ 21x + 70 = 25x + 50
⇒ 4x = 20 ⇒ x = 5

संख्याएँ = 15 और 25 ✓ (जाँच: 25/35 = 5/7 ✓)

⚠️ ट्रैप चेतावनी: "दोनों में 10 जोड़ा" ≠ "अनुपात वही रहा"। अनुपात तभी अपरिवर्तित रहता है जब दोनों को समान संख्या से गुणा या भाग किया जाए — जोड़ने/घटाने से नहीं!

🧩 टुकड़ा 6: आय-व्यय वाले प्रश्न (दो अनुपात एक साथ)

सवाल: A और B की आय का अनुपात 5:4 है और व्यय का अनुपात 3:2 है। प्रत्येक ₹2000 बचाता है। आय बताइए।

हल: आय = 5x, 4x; व्यय = 3y, 2y

• 5x − 3y = 2000
• 4x − 2y = 2000

पहले समीकरण × 2: 10x − 6y = 4000
दूसरे समीकरण × 3: 12x − 6y = 6000
घटाने पर: 2x = 2000 ⇒ x = 1000

आय = ₹5000 और ₹4000 ✓

पैटर्न पहचानो: जब भी "आय का अनुपात + व्यय का अनुपात + बचत" दिया हो — दो चर (x, y) मानो और दो समीकरण बनाओ। यही एकमात्र ढाँचा है।

🧠 सक्रिय स्मरण: ऊपर के प्रश्न में अगर बचत ₹3000 होती, तो x कितना होता? (उत्तर: 2x = 3000 ⇒ x = 1500)

🧩 टुकड़ा 7: बँटवारा (अनुपात में विभाजन)

सवाल: ₹840 को A, B, C में 2:3:7 के अनुपात में बाँटिए।

• कुल भाग = 2 + 3 + 7 = 12
• A = (2/12) × 840 = ₹140
• B = (3/12) × 840 = ₹210
• C = (7/12) × 840 = ₹490
• जाँच: 140 + 210 + 490 = 840 ✓

याद रखें: बँटवारे में हमेशा पहले भागों का योग निकालें, फिर प्रत्येक का हिस्सा = (उसका भाग / कुल भाग) × कुल राशि।

🧩 टुकड़ा 8: समानुपात के गुणधर्म (योगांतरानुपात परिवार)

ये नियम कठिन दिखने वाले प्रश्नों को एक लाइन में हल कर देते हैं। यदि a/b = c/d, तो:

प्रयोग: यदि (x+3)/(x−3) = 5/3, तो योगांतरानुपात से:
x/3 = (5+3)/(5−3) = 8/2 = 4 ⇒ x = 12 — बस एक लाइन!

🎵 स्मृति-सहायक ट्रिक

"बाहर-बाहर, अंदर-अंदर — गुणा बराबर!"

समानुपात a:b = c:d में बाह्य पदों (बाहर वाले) का गुणनफल = मध्य पदों (अंदर वाले) का गुणनफल।
याद करने की तरकीब: सोचिए दो टीमें कबड्डी खेल रही हैं — बाहर वाले खिलाड़ी आपस में गुणा करते हैं, अंदर वाले आपस में — और दोनों टीमों का स्कोर बराबर होना चाहिए, वरना मैच (समानुपात) ही नहीं है!

और तीनों "समानुपाती" के लिए:
"चौथा = bc/a, तीसरा = b²/a, बीच का = √(ab)" — याद रखिए: *"चौथे में दोनों अलग, तीसरे में बीच वाला दो बार, बीच में रूट!"*

📋 सारांश तालिका

🔁 दोहराने का निर्देश

इस अध्याय को 2 दिन बाद दोबारा दोहराएँ — खासकर:

1. अनुपात मिलाने की सेतु विधि (टुकड़ा 3)
2. तीनों समानुपाती के सूत्र (टुकड़ा 4)
3. योगांतरानुपात (टुकड़ा 8)

दोहराते समय पहले 🧠 सक्रिय स्मरण प्रश्नों को बिना उत्तर देखे हल करने की कोशिश करें। जो अटके, वही आपका कमज़ोर हिस्सा है — उसी टुकड़े को फिर पढ़ें।