लाभ और हानि

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लाभ और हानि (Profit & Loss)

अध्याय की रूपरेखा और सीखने के उद्देश्य

इस अध्याय को पढ़ने के बाद आप सक्षम होंगे:

• क्रय मूल्य (CP), विक्रय मूल्य (SP), अंकित मूल्य (MP) और छूट (Discount) में स्पष्ट अंतर करना
• लाभ% और हानि% को किसी भी परिस्थिति में निकालना
• बट्टा (Discount) और अंकित मूल्य वाले प्रश्नों को सेकंडों में हल करना
• दो वस्तुओं को समान मूल्य पर बेचने वाले "क्लासिक ट्रैप" प्रश्नों को पहचानना
• दुकानदार की बेईमानी (गलत बाट) वाले प्रश्न हल करना
• क्रमिक छूट (Successive Discount) और मिश्रित प्रश्नों में महारत हासिल करना

हुक: वो दुकानदार जो "घाटे" में भी कमाता है! 🏪

एक दुकानदार बोर्ड लगाता है — "50% छूट! भारी भरकम डिस्काउंट!"

ग्राहक खुशी-खुशी खरीदता है, सोचता है कि दुकानदार घाटा सह रहा है। सच्चाई? दुकानदार ने पहले ही अंकित मूल्य इतना बढ़ा दिया था कि 50% छूट देने के बाद भी उसे लाभ होता है!

यही खेल SSC CGL, IBPS PO और RRB NTPC जैसी परीक्षाओं में सवालों के रूप में खेला जाता है। जो छात्र CP-SP-MP का त्रिकोण समझ लेता है, वह इन सवालों में 30 सेकंड से कम लगाता है। जो नहीं समझता, वह "लगभग सही" विकल्प में फँस जाता है।

चलिए, इस खेल को जड़ से समझते हैं।

पहला टुकड़ा: तीन मूल्यों की कहानी

क्रय मूल्य (Cost Price – CP): वह राशि जिस पर दुकानदार वस्तु खरीदता है।

विक्रय मूल्य (Selling Price – SP): वह राशि जिस पर वस्तु ग्राहक को बेची जाती है।

अंकित मूल्य (Marked Price – MP): वस्तु पर लिखा हुआ दाम (टैग वाला दाम)। छूट हमेशा MP पर दी जाती है।

सुनहरा नियम:

• SP > CP → लाभ (Profit)
• SP < CP → हानि (Loss)
• SP = CP → न लाभ, न हानि

लाभ = SP − CP और हानि = CP − SP

🧠 Active Recall: एक किताब ₹200 में खरीदी और ₹250 में बेची। लाभ कितना? CP, SP बताइए। (उत्तर: CP = ₹200, SP = ₹250, लाभ = ₹50)

दूसरा टुकड़ा: प्रतिशत का असली खेल — आधार हमेशा CP!

यहीं सबसे ज़्यादा छात्र गलती करते हैं। लाभ% और हानि% हमेशा क्रय मूल्य (CP) पर निकाले जाते हैं — चाहे सवाल कुछ भी कहे।

$$\text{लाभ\%} = \frac{\text{लाभ}}{\text{CP}} \times 100$$

$$\text{हानि\%} = \frac{\text{हानि}}{\text{CP}} \times 100$$

उदाहरण: CP = ₹400, SP = ₹460
लाभ = ₹60, लाभ% = (60/400) × 100 = 15%

⚠️ परीक्षक का जाल: अगर सवाल कहे "विक्रय मूल्य पर 20% लाभ" — तो आधार SP होगा! शब्दों को ध्यान से पढ़िए।

🧠 Active Recall: CP = ₹500, हानि = ₹50। हानि% कितनी? (उत्तर: 10%)

तीसरा टुकड़ा: SP और CP निकालने के सीधे सूत्र

$$\text{SP} = \text{CP} \times \frac{100 + \text{लाभ\%}}{100} \quad \text{या} \quad \text{CP} \times \frac{100 - \text{हानि\%}}{100}$$

$$\text{CP} = \text{SP} \times \frac{100}{100 + \text{लाभ\%}} \quad \text{या} \quad \text{SP} \times \frac{100}{100 - \text{हानि\%}}$$

उदाहरण: एक वस्तु ₹720 में बेचने पर 20% लाभ होता है। CP = ?
CP = 720 × (100/120) = ₹600

भिन्न वाली शॉर्टकट सोच: 20% लाभ का मतलब SP = CP का 6/5 गुना। तो CP = SP का 5/6 = 720 × 5/6 = ₹600। भिन्न सोच कैलकुलेशन को आधा कर देती है!

🧠 Active Recall: ₹900 में बेचने पर 10% हानि। CP बताइए। (उत्तर: 10% हानि = SP = 9/10 CP, तो CP = 900 × 10/9 = ₹1000)

चौथा टुकड़ा: अंकित मूल्य और छूट (Discount)

छूट हमेशा MP पर मिलती है:

$$\text{SP} = \text{MP} \times \frac{100 - \text{छूट\%}}{100}$$

क्लासिक प्रश्न: दुकानदार CP से 40% ऊपर अंकित करता है, फिर 10% छूट देता है। लाभ%?

मान लीजिए CP = ₹100

• MP = ₹140
• SP = 140 × 90/100 = ₹126
• लाभ = 26%

गुणन-गुणक विधि (Multiplication Factor): कुल परिवर्तन = 1.40 × 0.90 = 1.26 → 26% लाभ। यही विधि क्रमिक छूट में भी काम करती है।

क्रमिक छूट: 20% और 10% की दो छूट = 0.80 × 0.90 = 0.72 → कुल 28% छूट (30% नहीं! यह सबसे आम जाल है)।

🧠 Active Recall: 30% + 20% क्रमिक छूट का समतुल्य एकल छूट कितनी? (उत्तर: 0.70 × 0.80 = 0.56 → 44%)

पाँचवाँ टुकड़ा: दो वस्तुएँ, समान विक्रय मूल्य — महा-ट्रैप! ⚡

सवाल: एक व्यक्ति दो घड़ियाँ ₹990 प्रत्येक में बेचता है। एक पर 10% लाभ, दूसरी पर 10% हानि। कुल मिलाकर क्या हुआ?

बहुत से छात्र कहते हैं "न लाभ, न हानि" — गलत!

• पहली घड़ी का CP = 990 × 100/110 = ₹900
• दूसरी घड़ी का CP = 990 × 100/90 = ₹1100
• कुल CP = ₹2000, कुल SP = ₹1980
• हानि = ₹20, यानी 1% हानि

सुनहरा नियम: जब दो वस्तुएँ समान SP में बेची जाएँ — एक पर x% लाभ, दूसरी पर x% हानि — तो हमेशा हानि होती है:

$$\text{हानि\%} = \frac{x^2}{100}$$

यहाँ x = 10, तो हानि = 100/100 = 1%। यह सूत्र रट लीजिए — परीक्षाओं में यह पैटर्न बार-बार पूछा जाता है!

🧠 Active Recall: समान SP, 20% लाभ और 20% हानि — कुल परिणाम? (उत्तर: 400/100 = 4% हानि)

छठा टुकड़ा: बेईमान दुकानदार (गलत बाट)

दुकानदार 1 किग्रा के बदले 900 ग्राम तौलता है, लेकिन दाम CP के बराबर ही लेता है। लाभ%?

$$\text{लाभ\%} = \frac{\text{कम तौला गया}}{\text{वास्तव में दिया गया}} \times 100 = \frac{100}{900} \times 100 = 11\frac{1}{9}\%$$

याद रखें: हर प्रतिशत का आधार "जो वास्तव में दिया गया" है, न कि "जो देना चाहिए था"।

🎯 मजेदार स्मृति-सहायक ट्रिक (Mnemonic)

"CP है राजा, सब उसी पर राजा!" 👑

• CP पर निकले P्रतिशत — लाभ हो या हानि, प्रतिशत का आधार हमेशा CP।
• MP पर मिले Dिस्काउंट — छूट हमेशा अंकित मूल्य पर।

और समान SP वाला जाल याद करने के लिए: "बराबर बेचा, x% उल्टा-सीधा — घाटा पक्का, x²/100 का फंडा!"

सातवाँ टुकड़ा: मिश्रित परिस्थितियाँ

SP बदलने वाले प्रश्न: "₹x में बेचने पर a% लाभ; ₹y में बेचने पर b% लाभ। CP बताइए।"

दोनों SP का अंतर, लाभ% के अंतर के बराबर होता है। सामान्य सूत्र:

$$\text{CP} = \frac{\text{SP का अंतर} \times 100}{\text{लाभ\% का अंतर}}$$

उदाहरण: ₹600 में बेचने पर 20% लाभ, ₹650 में बेचने पर 30% लाभ।
CP = (650 − 600) × 100 / (30 − 20) = 50 × 100 / 10 = ₹500

जाँच: CP = ₹500 पर 20% लाभ → SP = ₹600 ✓; 30% लाभ → SP = ₹650 ✓

एक ही वस्तु, x% लाभ और x% हानि वाले प्रश्न: एक ही वस्तु को x% लाभ पर SP₁ में और x% हानि पर SP₂ में बेचा जाए, तो:

$$\text{CP} = \frac{\text{SP}_1 + \text{SP}_2}{2}$$

यानी दोनों विक्रय मूल्यों का औसत ही क्रय मूल्य होता है।
उदाहरण: x% लाभ पर SP = ₹660, x% हानि पर SP = ₹540 → CP = (660 + 540)/2 = ₹600 (और x = 10)।

🧠 Active Recall: ₹450 में बेचने पर 10% हानि। 20% लाभ के लिए SP कितना हो? (उत्तर: CP = 450 × 100/90 = ₹500, SP = 500 × 120/100 = ₹600)

सारांश तालिका

📌 इसे 2 दिन बाद दोहराएँ

आज पढ़ा हुआ अधिकांश भाग कुछ दिनों में भूल जाएँगे — यह स्मृति का स्वभाव है (Forgetting Curve)। 2 दिन बाद सिर्फ़ यह करें:

1. ऊपर की सारांश तालिका को बंद किताब से दोबारा लिखने की कोशिश करें
2. x²/100 वाला नियम और क्रमिक छूट का सूत्र मुँह से बोलें
3. Flashcards के 5 कार्ड हल करें

फिर 7 दिन बाद एक बार और। यही दोहराव आपको परीक्षा हॉल में 30-सेकंड वाला छात्र बना देगा। 💪