समय और कार्य

English में पढ़ें

समय और कार्य (Time & Work)

📌 अध्याय की रूपरेखा और सीखने के उद्देश्य

इस अध्याय को पढ़ने के बाद आप सीखेंगे:

1. "कार्य" और "समय" के बीच का मूल संबंध — दर (Rate) की अवधारणा
2. एक दिन का कार्य निकालकर कोई भी सवाल हल करना
3. दो या अधिक व्यक्तियों/पाइपों के मिलकर काम करने की गणना
4. कार्य और मज़दूरी (Work & Wages) के सवाल
5. M-D-H सूत्र से पुरुष-दिन-घंटे वाले प्रश्न
6. परीक्षा में 30 सेकंड में सवाल हल करने की LCM ट्रिक

🎣 हुक: वो दीवार जो कभी बनी ही नहीं!

एक ठेकेदार ने सोचा — "अकेला राज 20 दिन में दीवार बनाता है, और अकेला मिस्त्री 30 दिन में। दोनों मिलकर बनाएँगे तो 20 + 30 = 50 दिन लगेंगे?"

गलत! और यही गलती हर साल हज़ारों परीक्षार्थी करते हैं।

सोचिए — दो लोग मिलकर काम करें तो काम जल्दी होगा या देर से? जल्दी ही होगा न! सही उत्तर है सिर्फ़ 12 दिन। कैसे? यही जादू इस अध्याय में सीखेंगे। याद रखिए — समय और कार्य में समय कभी जुड़ता नहीं, दर (Rate) जुड़ती है।

😟 आम समस्या: "सवाल तो आता है, पर समय नहीं बचता!"

SSC, बैंक और रेलवे की परीक्षाओं में समय और कार्य से सवाल नियमित रूप से पूछे जाते हैं। छात्र इन्हें x मानकर समीकरण से हल करते हैं — और 3 मिनट गँवा देते हैं। जबकि LCM ट्रिक से वही सवाल 30 सेकंड में होता है।

इस अध्याय का वादा: कोई x नहीं, कोई लंबा समीकरण नहीं — सिर्फ़ एक तरीका, हर सवाल पर।

🧱 टुकड़ा 1: सबसे ज़रूरी अवधारणा — "एक दिन का कार्य"

पूरा अध्याय एक ही सोच पर टिका है:

> अगर कोई व्यक्ति काम को N दिन में पूरा करता है, तो वह 1 दिन में काम का 1/N हिस्सा करता है।

• A काम 10 दिन में करता है → A का 1 दिन का काम = 1/10
• B काम 15 दिन में करता है → B का 1 दिन का काम = 1/15
• दोनों मिलकर 1 दिन में = 1/10 + 1/15 = 3/30 + 2/30 = 5/30 = 1/6
• यानी दोनों मिलकर काम 6 दिन में खत्म करेंगे।

देखा? समय नहीं जोड़ा, दर (1 दिन का काम) जोड़ी।

🧠 Active Recall: अगर C अकेला काम 8 दिन में करता है, तो उसका 1 दिन का काम कितना? और 3 दिन में कितना काम होगा? (उत्तर सोचकर ही आगे बढ़ें: 1/8 और 3/8)

🧱 टुकड़ा 2: LCM ट्रिक — परीक्षा की असली हथियार

भिन्न जोड़ने में समय लगता है। इसलिए हम काम को इकाइयों (units) में बदल देते हैं:

चरण:

1. दिए गए सभी दिनों का LCM लें — यही "कुल काम" मान लें।
2. हर व्यक्ति की क्षमता (efficiency) = कुल काम ÷ उसके दिन।
3. अब सवाल सिर्फ़ जोड़-घटा-भाग का खेल है।

उदाहरण: A काम 12 दिन में, B 18 दिन में करता है। दोनों मिलकर कितने दिन में?

• LCM(12, 18) = 36 इकाई = कुल काम
• A की क्षमता = 36 ÷ 12 = 3 इकाई/दिन
• B की क्षमता = 36 ÷ 18 = 2 इकाई/दिन
• मिलकर = 5 इकाई/दिन → समय = 36 ÷ 5 = 7.2 दिन ✅

🧠 Active Recall: A = 10 दिन, B = 15 दिन। LCM लेकर बताइए दोनों मिलकर कितने दिन में? (LCM = 30; क्षमता 3 और 2; उत्तर 6 दिन)

🧱 टुकड़ा 3: क्षमता (Efficiency) — असली खिलाड़ी

दो व्यक्तियों की तुलना हमेशा क्षमता से होती है, दिनों से नहीं:

> क्षमता ∝ 1/समय (जितना कम समय, उतनी ज़्यादा क्षमता)

अगर A, B से दोगुना कुशल है, तो A को B से आधा समय लगेगा।

उदाहरण: A की क्षमता B की तिगुनी है। B अकेला काम 24 दिन में करता है। A कितने दिन में करेगा?

• क्षमता तिगुनी → समय एक-तिहाई → 24 ÷ 3 = 8 दिन ✅

🧠 Active Recall: यदि A : B की क्षमता 4 : 3 है और B काम 16 दिन में करता है, तो A कितने दिन में? (समय का अनुपात उल्टा: 3 : 4 → A = 12 दिन)

🧱 टुकड़ा 4: छोड़कर जाना और बीच में जुड़ना

परीक्षा का पसंदीदा पैटर्न: "A और B ने साथ शुरू किया, पर A कुछ दिन बाद छोड़ गया…"

सुनहरा नियम: जो बचा है, उसे किसने किया — बस यही ट्रैक करो।

उदाहरण: A = 20 दिन, B = 30 दिन। दोनों ने साथ शुरू किया, पर 8 दिन बाद A चला गया। बचा काम B कितने दिन में करेगा?

• LCM = 60; A = 3 इकाई/दिन, B = 2 इकाई/दिन
• 8 दिन में दोनों ने किया = 8 × 5 = 40 इकाई
• बचा = 60 − 40 = 20 इकाई → B अकेला = 20 ÷ 2 = 10 दिन ✅

🧠 Active Recall: ऊपर के सवाल में अगर A 6 दिन बाद जाता, तो B को बचा काम करने में कितने दिन लगते? (6 × 5 = 30; बचा 30; उत्तर 15 दिन)

🧱 टुकड़ा 5: पाइप और टंकी (Pipes & Cisterns)

यह समय-कार्य का ही भाई है — बस एक अंतर: खाली करने वाला पाइप ऋणात्मक (negative) काम करता है।

• भरने वाला पाइप: + क्षमता
• खाली करने वाला पाइप (लीक): − क्षमता

उदाहरण: पाइप A टंकी 6 घंटे में भरता है, पाइप B उसे 12 घंटे में खाली करता है। दोनों खुले हों तो टंकी कितने समय में भरेगी?

• LCM = 12; A = +2, B = −1 → शुद्ध = +1 इकाई/घंटा
• समय = 12 ÷ 1 = 12 घंटे ✅

🧠 Active Recall: A भरता है 4 घंटे में, B खाली करता है 6 घंटे में। दोनों खुले तो? (LCM 12; +3, −2 → शुद्ध 1 → 12 घंटे)

🧱 टुकड़ा 6: M-D-H सूत्र (पुरुष–दिन–घंटे)

जब काम वही हो पर आदमी, दिन और घंटे बदल जाएँ:

> M₁ × D₁ × H₁ = M₂ × D₂ × H₂ (काम समान होने पर)

अगर काम भी बदले तो: M₁D₁H₁ / W₁ = M₂D₂H₂ / W₂

उदाहरण: 10 आदमी 8 घंटे/दिन काम करके एक काम 12 दिन में करते हैं। 15 आदमी 8 घंटे/दिन काम करें तो कितने दिन?

• 10 × 12 × 8 = 15 × D₂ × 8 → D₂ = 960 ÷ 120 = 8 दिन ✅

🧱 टुकड़ा 7: कार्य और मज़दूरी (Work & Wages)

> मज़दूरी हमेशा किए गए काम (क्षमता × दिन) के अनुपात में बँटती है।

उदाहरण: A अकेला 10 दिन में, B अकेला 15 दिन में काम कर सकता है। दोनों मिलकर काम करें और कुल मज़दूरी ₹500 हो, तो A का हिस्सा?

• क्षमता अनुपात A : B = 1/10 : 1/15 = 3 : 2
• A का हिस्सा = 500 × 3/5 = ₹300 ✅

🧠 Active Recall: ऊपर के सवाल में B का हिस्सा कितना? (₹200)

🎭 मज़ेदार Mnemonic: "जुगाड़ू LCM भाई"

याद करने की ट्रिक — "दिन नहीं, दम जोड़ो!"

• दिन = कभी सीधे न जोड़ें ❌
• दम (क्षमता) = हमेशा जोड़ें ✅

और पाइप वाले सवाल में याद रखें: "भरो प्लस, बहाओ माइनस" — भरने वाला धनात्मक, बहाने (लीक) वाला ऋणात्मक।

एक और: M-D-H सूत्र के लिए — "मैंने दिन-रात हल किया" → Mैंने Dिन Hल = M × D × H!

📊 सारांश तालिका

🔁 दोहराने का संकेत

इस अध्याय को 2 दिन बाद ज़रूर दोहराएँ! सिर्फ़ ये तीन चीज़ें अपनी कॉपी में बिना देखे लिखकर देखें:

1. LCM ट्रिक के तीन चरण
2. "दिन नहीं, दम जोड़ो" का मतलब
3. M₁D₁H₁ = M₂D₂H₂ कब लगता है

जो भूल जाएँ, वही हिस्सा दोबारा पढ़ें — यही Active Recall की असली ताकत है। अगला कदम: Formulas खंड, फिर Practice Sets। आप तैयार हैं! 💪